[Mathematik] Allgemeine Formel für ganzrationale...

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	n-Halbleiter Betreff: [Mathematik] Allgemeine Formel für ganzrationale...	Mo, Sep 14, 2009 14:49 Antworten mit Zitat
... Funktionen n-ten Grades und die zugehörige Ableitung. Hallihallo! Diese Problematik ist an die Leute gerichtet, die sich ein wenig mit Mathe auskennen, denke ich. Ich habe folgendes Problem: Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades lässt sich ja wie folgt darstellen: Zitat: n f(x) = Sigma ( a(n-i) * x^(n-i) ) i=0 (a(n) ist der Koeffizient des n-ten Polynoms, n die Anzahl Polynome minus 1 (oder der Grad der Funktion +1 )). Nur so zur Info: Dies entspricht der Form f(x) = a(n) * x^(n) + a(n-1) * x^(n-1) ... + a(1) * x^(1) + a(0) * x^(0). Ich suche jetzt eine allgemeine Formel für die k-te Ableitung. Mein Ansatz ist folgender: Zitat: n-k f^(k)(x) = Sigma ( a(n-i) * R(n;k;i) * x^(n-k-i) ) i=0 (Das "f^(k)(x)" meint die k-te Ableitung von f(x). Mir ist keine besser Schreibweise eingefallen.) Die Funktion R(n;k;i) ist der Rest, der mit dem Koeffizienten a(n) multipliziert wird: Zitat: { k = 0 -> 1 R(n;k;i) { k + i > n -> 0 { sonstige Fälle -> ( (n-i)! / (n-i-k)! ) Dieser Funktion liegt die Überlegung zu Grunde, dass, wenn k 0 ist, die Funktion sowieso keine Ableitung ist. Sie liefert 1 zurück, was keine Veränderung hervorruft. Der Teil "k + i > n" hat damit zu tun, dass es bei bestimmten Konstellationen von Polynom/Ableitung/Grad der Funktion kein Wert existiert, zum Beispiel bei der ersten Ableitung des absoluten Gliedes oder beim 3-ten Polynom einer Grad-5-Funktion, bei der 3-ten Ableitung. k + i ist hier in allen Fällen größer als n. In allen anderen Fällen greift der Term ( (n-i [...])! ). Wieso ich diesen Term so gewählt habe, dürfte klar werden, wenn ich ein Beispiel heranziehe (n=5, k=2, i=0 (5-ter Grad, zweite Ableitung, erstes Polynom)): Zitat: ( (5-0)! / (5-2-0)! ) = ( (54321) / (321) ) = 54 = 20 (Die 321 kürzen sich aus.) Dementsprechend wäre das bei der dritten Ableitung: Zitat: ( (5-0)! / (5-3-0)! ) = ( (54321) / (21) ) = 543 = 60 Ich möchte nun wissen, ob mir irgendwo ein Denkfehler unterlaufen ist (ich habe nach dem mittlerweile zweiten Nachüberlegen und -rechnen keinen entdeckt), und, wenn nicht, ob euch noch einfachere Lösungen einfallen. Ich hoffe, dass ihr mich überhaupt versteht. Schonmal danke im voraus. P.S.: Denkt euch je die oberste und unterste Zeile der Formeln eingerückt, die Leerzeichen werden leider weggeschnitten.
mfg, Calvin Maschine: Intel Core2 Duo E6750, 4GB DDR2-Ram, ATI Radeon HD4850, Win 7 x64 und Ubuntu 12.04 64-Bit Ploing! Blog "Die Seele einer jeden Ordnung ist ein großer Papierkorb." - Kurt Tucholsky (09.01.1890 - 21.12.1935)

n-Halbleiter

Betreff: [Mathematik] Allgemeine Formel für ganzrationale...

Mo, Sep 14, 2009 14:49
Antworten mit Zitat

... Funktionen n-ten Grades und die zugehörige Ableitung.

Hallihallo!

Diese Problematik ist an die Leute gerichtet, die sich ein wenig mit Mathe auskennen, denke ich. Ich habe folgendes Problem: Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades lässt sich ja wie folgt darstellen:

Zitat:

n
f(x) = Sigma ( a(n-i) * x^(n-i) )
i=0

(a(n) ist der Koeffizient des n-ten Polynoms, n die Anzahl Polynome minus 1 (oder der Grad der Funktion +1 Wink

)).

Nur so zur Info: Dies entspricht der Form f(x) = a(n) * x^(n) + a(n-1) * x^(n-1) ... + a(1) * x^(1) + a(0) * x^(0).

Ich suche jetzt eine allgemeine Formel für die k-te Ableitung. Mein Ansatz ist folgender:

Zitat:

n-k
f^(k)(x) = Sigma ( a(n-i) * R(n;k;i) * x^(n-k-i) )
i=0

(Das "f^(k)(x)" meint die k-te Ableitung von f(x). Mir ist keine besser Schreibweise eingefallen.)
Die Funktion R(n;k;i) ist der Rest, der mit dem Koeffizienten a(n) multipliziert wird:

Zitat:

{ k = 0 -> 1
R(n;k;i) { k + i > n -> 0
{ sonstige Fälle -> ( (n-i)! / (n-i-k)! )

Dieser Funktion liegt die Überlegung zu Grunde, dass, wenn k 0 ist, die Funktion sowieso keine Ableitung ist. Sie liefert 1 zurück, was keine Veränderung hervorruft. Der Teil "k + i > n" hat damit zu tun, dass es bei bestimmten Konstellationen von Polynom/Ableitung/Grad der Funktion kein Wert existiert, zum Beispiel bei der ersten Ableitung des absoluten Gliedes oder beim 3-ten Polynom einer Grad-5-Funktion, bei der 3-ten Ableitung. k + i ist hier in allen Fällen größer als n.

In allen anderen Fällen greift der Term ( (n-i [...])! ). Wieso ich diesen Term so gewählt habe, dürfte klar werden, wenn ich ein Beispiel heranziehe (n=5, k=2, i=0 (5-ter Grad, zweite Ableitung, erstes Polynom)):
Zitat:

( (5-0)! / (5-2-0)! ) = ( (5*4*3*2*1) / (3*2*1) ) = 5*4 = 20

(Die 3*2*1 kürzen sich aus.)
Dementsprechend wäre das bei der dritten Ableitung:
Zitat:

( (5-0)! / (5-3-0)! ) = ( (5*4*3*2*1) / (2*1) ) = 5*4*3 = 60

Ich möchte nun wissen, ob mir irgendwo ein Denkfehler unterlaufen ist (ich habe nach dem mittlerweile zweiten Nachüberlegen und -rechnen keinen entdeckt), und, wenn nicht, ob euch noch einfachere Lösungen einfallen.

Ich hoffe, dass ihr mich überhaupt versteht. Wink

Schonmal danke im voraus. Smile

P.S.: Denkt euch je die oberste und unterste Zeile der Formeln eingerückt, die Leerzeichen werden leider weggeschnitten.

mfg, Calvin
Maschine: Intel Core2 Duo E6750, 4GB DDR2-Ram, ATI Radeon HD4850, Win 7 x64 und Ubuntu 12.04 64-Bit
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Zuletzt bearbeitet von n-Halbleiter am Mo, Sep 14, 2009 22:20, insgesamt einmal bearbeitet

	mpmxyz	Mo, Sep 14, 2009 17:55 Antworten mit Zitat
Ich habe es verstanden und habe nur einen Fehler gefunden: Zitat: { k = 0 -> 1 R(n;k;i) { k + i > n -> 0 { sonstige Fälle -> ( (n-i)! / (n-i-y)! ) Das y sollte wohl bestimmt ein k sein... Aber sonst finde ich diese Formel ganz interessant. Vielleicht kann ich sie noch in diesem Schuljahr gebrauchen. mfG mpmxyz
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mpmxyz

Mo, Sep 14, 2009 17:55
Antworten mit Zitat

Ich habe es verstanden und habe nur einen Fehler gefunden:

Zitat:

{ k = 0 -> 1
R(n;k;i) { k + i > n -> 0
{ sonstige Fälle -> ( (n-i)! / (n-i-y)! )

Das y sollte wohl bestimmt ein k sein...
Aber sonst finde ich diese Formel ganz interessant.
Vielleicht kann ich sie noch in diesem Schuljahr gebrauchen.

mfG
mpmxyz

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	Darren	Mo, Sep 14, 2009 18:03 Antworten mit Zitat
passt. hab das gleiche raus. die fallunterscheidung ist bei der methode wichtig. vielleicht gibt es auch noch nen iterativen ansatz, der dann ohne die fallunterscheidung auskommt, weil man ja stets das zwischenergebnis der vorherigen prozedur unterzieht, bis man fertig mit ableiten ist. so läuft man niemals gefahr zb x² viermal ableiten zu wollen, was bei dem bruch mit den fakultäten zu ner fakultät ner negativen zahl führen würde, was nicht definiert ist.
MFG Darren

Darren

Mo, Sep 14, 2009 18:03
Antworten mit Zitat

passt. hab das gleiche raus. die fallunterscheidung ist bei der methode wichtig.

vielleicht gibt es auch noch nen iterativen ansatz, der dann ohne die fallunterscheidung auskommt, weil man ja stets das zwischenergebnis der vorherigen prozedur unterzieht, bis man fertig mit ableiten ist. so läuft man niemals gefahr zb x² viermal ableiten zu wollen, was bei dem bruch mit den fakultäten zu ner fakultät ner negativen zahl führen würde, was nicht definiert ist.

MFG Darren

	mpmxyz	Mo, Sep 14, 2009 18:20 Antworten mit Zitat
@Darren Ich glaube, dass diese Fallunterscheidung nicht nötig ist... Dank des "-k" über dem Sigma kann n-i<k nicht eintreten. Denn dabei werden die Teile, die in der Ableitung nicht gebraucht werden, schon vorher weggelassen.
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mpmxyz

Mo, Sep 14, 2009 18:20
Antworten mit Zitat

@Darren
Ich glaube, dass diese Fallunterscheidung nicht nötig ist...
Dank des "-k" über dem Sigma kann n-i<k nicht eintreten.
Denn dabei werden die Teile, die in der Ableitung nicht gebraucht werden, schon vorher weggelassen.

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Zuletzt bearbeitet von mpmxyz am Di, Sep 15, 2009 18:33, insgesamt einmal bearbeitet

	BlitzMoritz	Mo, Sep 14, 2009 19:32 Antworten mit Zitat
Falls gewünscht, eine rekursive Funktion mit BlitzMax: BlitzMax: [AUSKLAPPEN] [EINKLAPPEN] For Local w:Int = 0 To 99 Local Grad:Int = Rand(1,10) Local Koeffizient:Int[Grad+1] Koeffizient[0] = Rand(-10,+10) Local Funktion:String = Koeffizient[0] + "x^0" For Local i:Int = 1 To Grad Koeffizient[i] = Rand(-10,+10) Funktion = Funktion + " + " + Koeffizient[i] + "x^" + i Next Print "f(x) = " + Funktion Function Funktion_ableiten:Int[](Koeffizient:Int[]) Local Neue_Koeffizienten:Int[ Len(Koeffizient)-1 ] For Local j:Int = 0 To Len(Koeffizient)-2 Neue_Koeffizienten[j] = Koeffizient[j+1] * (j+1) Next Return Neue_Koeffizienten End Function Local Ableitung:Int = Rand(1, Grad) For Local k:Int = 1 To Ableitung Koeffizient = Funktion_ableiten(Koeffizient) Next Funktion = Koeffizient[0] + "x^0" For Local l:Int = 1 To Len(Koeffizient)-1 Funktion = Funktion + " + " + Koeffizient[l] + "x^" + l Next Print Ableitung + ".te Ableitung von f = " + Funktion Print "-----------------------------------------------------------------------------------" Next

BlitzMoritz

Mo, Sep 14, 2009 19:32
Antworten mit Zitat

Falls gewünscht, eine rekursive Funktion mit BlitzMax:
BlitzMax: [AUSKLAPPEN]

For Local w:Int = 0 To 99
     Local Grad:Int = Rand(1,10)
     Local Koeffizient:Int[Grad+1]
     Koeffizient[0] = Rand(-10,+10)
     Local Funktion:String = Koeffizient[0] + "x^0"
     For Local i:Int = 1 To Grad
          Koeffizient[i] = Rand(-10,+10)
     Funktion = Funktion + " + " + Koeffizient[i] + "x^" + i
     Next
     Print "f(x) = " + Funktion
     Function Funktion_ableiten:Int[](Koeffizient:Int[])
          Local Neue_Koeffizienten:Int[ Len(Koeffizient)-1 ]
          For Local j:Int = 0 To Len(Koeffizient)-2
               Neue_Koeffizienten[j] = Koeffizient[j+1] * (j+1)
          Next
          Return Neue_Koeffizienten
     End Function
     Local Ableitung:Int = Rand(1, Grad)
     For Local k:Int = 1 To Ableitung
          Koeffizient = Funktion_ableiten(Koeffizient)
     Next
     Funktion = Koeffizient[0] + "x^0"
     For Local l:Int = 1 To Len(Koeffizient)-1
          Funktion = Funktion + " + " + Koeffizient[l] + "x^" + l
     Next
     Print Ableitung + ".te Ableitung von f = " + Funktion
     Print "-----------------------------------------------------------------------------------"
Next

	n-Halbleiter	Mo, Sep 14, 2009 20:27 Antworten mit Zitat
Darren hat Folgendes geschrieben: passt. hab das gleiche raus. die fallunterscheidung ist bei der methode wichtig. vielleicht gibt es auch noch nen iterativen ansatz, der dann ohne die fallunterscheidung auskommt, weil man ja stets das zwischenergebnis der vorherigen prozedur unterzieht, bis man fertig mit ableiten ist. so läuft man niemals gefahr zb x² viermal ableiten zu wollen, was bei dem bruch mit den fakultäten zu ner fakultät ner negativen zahl führen würde, was nicht definiert ist. Ah schön, dass auch andere Leute auf die selben Schlüsse kommen. Über der Sache mit der Fallunterscheidung habe ich auch schon gebrütet, allerdings ist mir kein mathematischer Ansatz dafür eingefallen. Und so geht's ja auch. BlitzMoritz: Ich kann das nicht testen, ich habe leider kein BMax, deshalb kann ich auch nicht sagen, ob es funktioniert oder nicht, aber ich nehme es einfach mal an. mpmxyz hat Folgendes geschrieben: @Darren Ich glaube, dass diese Fallunterscheidung nicht nötig ist... Dank des "-k" über dem Sigma werden kann n-i<k nicht eintreten. Denn dabei werden die Teile, die in der Ableitung nicht gebraucht werden, schon weggelassen. Genau, wegen der Fallunterscheidung ist es nicht möglich, dass überhaupt mit Fakultäten hantiert wird, wenn es nicht möglich ist.
mfg, Calvin Maschine: Intel Core2 Duo E6750, 4GB DDR2-Ram, ATI Radeon HD4850, Win 7 x64 und Ubuntu 12.04 64-Bit Ploing! Blog "Die Seele einer jeden Ordnung ist ein großer Papierkorb." - Kurt Tucholsky (09.01.1890 - 21.12.1935)

n-Halbleiter

Mo, Sep 14, 2009 20:27
Antworten mit Zitat

Darren hat Folgendes geschrieben:

Ah schön, dass auch andere Leute auf die selben Schlüsse kommen. Smile

Über der Sache mit der Fallunterscheidung habe ich auch schon gebrütet, allerdings ist mir kein mathematischer Ansatz dafür eingefallen. Und so geht's ja auch. Wink

BlitzMoritz: Ich kann das nicht testen, ich habe leider kein BMax, deshalb kann ich auch nicht sagen, ob es funktioniert oder nicht, aber ich nehme es einfach mal an. Wink

mpmxyz hat Folgendes geschrieben:

@Darren
Ich glaube, dass diese Fallunterscheidung nicht nötig ist...
Dank des "-k" über dem Sigma werden kann n-i<k nicht eintreten.
Denn dabei werden die Teile, die in der Ableitung nicht gebraucht werden, schon weggelassen.

Genau, wegen der Fallunterscheidung ist es nicht möglich, dass überhaupt mit Fakultäten hantiert wird, wenn es nicht möglich ist. Wink

	mpmxyz	Di, Sep 15, 2009 18:44 Antworten mit Zitat
@n-halbleiter Zitat: Ich glaube, dass diese Fallunterscheidung nicht nötig ist... Ich habe da aber etwas anderes gesagt. Du brauchst diese Fallunterscheidung nur, falls über dem Sigma "n" statt "n-k" stehen würde: "n-i-k" ist um so kleiner, je größer i ist. Imax=n-k ->n-(n-k)-k=0 ->Der kleinste Wert für "n-i-k" ist 0 und "(n-i-k)!" ist damit auch noch definiert. mfG mpmxyz
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mpmxyz

Di, Sep 15, 2009 18:44
Antworten mit Zitat

@n-halbleiter
Zitat:

Ich glaube, dass diese Fallunterscheidung nicht nötig ist...

Ich habe da aber etwas anderes gesagt.
Du brauchst diese Fallunterscheidung nur, falls über dem Sigma "n" statt "n-k" stehen würde:

"n-i-k" ist um so kleiner, je größer i ist.
Imax=n-k
->n-(n-k)-k=0
->Der kleinste Wert für "n-i-k" ist 0 und "(n-i-k)!" ist damit auch noch definiert.

mfG
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	Randall Flagg	Di, Sep 15, 2009 20:01 Antworten mit Zitat
Bin ich der Einzige, der hier absolut keine Ahnung hat worum es geht und was diese ganzen Formeln hier zu bedeuten haben? In welcher Klasse wird das durchgekaut? In meiner 12-jährigen Schullaufbahn hab ich sowas nicht mal Ansatzweise gesehen. Ableitungen und Co, klar, das kenn ich, aber Sigma und so Zeugs ... am Rande von gehört, aber ist nie im Unterricht drangekommen.
Meine Parodien & Geschichten

Randall Flagg

Di, Sep 15, 2009 20:01
Antworten mit Zitat

Bin ich der Einzige, der hier absolut keine Ahnung hat worum es geht und was diese ganzen Formeln hier zu bedeuten haben? In welcher Klasse wird das durchgekaut? In meiner 12-jährigen Schullaufbahn hab ich sowas nicht mal Ansatzweise gesehen. Ableitungen und Co, klar, das kenn ich, aber Sigma und so Zeugs ... am Rande von gehört, aber ist nie im Unterricht drangekommen.

Meine Parodien & Geschichten

	n-Halbleiter	Di, Sep 15, 2009 20:14 Antworten mit Zitat
Randall Flagg hat Folgendes geschrieben: Bin ich der Einzige, der hier absolut keine Ahnung hat worum es geht und was diese ganzen Formeln hier zu bedeuten haben? In welcher Klasse wird das durchgekaut? In meiner 12-jährigen Schullaufbahn hab ich sowas nicht mal Ansatzweise gesehen. Ableitungen und Co, klar, das kenn ich, aber Sigma und so Zeugs ... am Rande von gehört, aber ist nie im Unterricht drangekommen. Thema Sigma: Ich habe das öfter mal gelesen und mich immer mal gefragt, was das zu bedeuten hat. In der englischen Wikipeda wurde ich dann irgendwann fündig, bzw. ich habe die Erklärungen verstanden. Ich weiß nicht, in welcher Klasse das dran kommen soll, ich bin aktuell in der elf am Anfang und kann das alles nur, weil ich es mir selbst beigebracht habe oder Leute so nett waren, und es mir erklärt haben. Also: Das Sigma ist der Summen-Operator. Hat man zum Beispiel Zitat: 100 Sigma (i) i=1 stehen, sorgt dass dafür, dass alle Zahlen von 1 bis 100 addiert werden. Oder anders gesagt: Es ist eine For-Next-Schleife mit "i=1 To 100". Innerhalb der Schleife werden dann die i-Werte zum Ergebnis addiert. Es ist also, wie ich das sehe, nicht schlimm, dass du das nicht weißt.
mfg, Calvin Maschine: Intel Core2 Duo E6750, 4GB DDR2-Ram, ATI Radeon HD4850, Win 7 x64 und Ubuntu 12.04 64-Bit Ploing! Blog "Die Seele einer jeden Ordnung ist ein großer Papierkorb." - Kurt Tucholsky (09.01.1890 - 21.12.1935)

n-Halbleiter

Di, Sep 15, 2009 20:14
Antworten mit Zitat

Randall Flagg hat Folgendes geschrieben:

Thema Sigma: Ich habe das öfter mal gelesen und mich immer mal gefragt, was das zu bedeuten hat. In der englischen Wikipeda wurde ich dann irgendwann fündig, bzw. ich habe die Erklärungen verstanden. Ich weiß nicht, in welcher Klasse das dran kommen soll, ich bin aktuell in der elf am Anfang und kann das alles nur, weil ich es mir selbst beigebracht habe oder Leute so nett waren, und es mir erklärt haben. Wink

Also: Das Sigma ist der Summen-Operator. Hat man zum Beispiel
Zitat:

100
Sigma (i)
i=1

stehen, sorgt dass dafür, dass alle Zahlen von 1 bis 100 addiert werden. Oder anders gesagt: Es ist eine For-Next-Schleife mit "i=1 To 100". Innerhalb der Schleife werden dann die i-Werte zum Ergebnis addiert.

Es ist also, wie ich das sehe, nicht schlimm, dass du das nicht weißt. Wink

	mpmxyz Betreff: Im Namen von n-halbleiter...	Di, Sep 15, 2009 20:38 Antworten mit Zitat
...soll ich sagen, dass er gemerkt hat, dass die Fallunterscheidung wirklich unnötig ist. Er hatte nicht bedacht, dass es auch eine Fakultät von 0 gibt. Mir ist außerdem noch eine kürzere Form aufgefallen: Zitat: n f^(k)(x) = Sigma ( a(i) * (i)! / (i-k)! * x^(i-k) ) i=k "i" ist jetzt das ursprüngliche "n-i" Minimum von n-i: n-(n-k)=k Maximum von n-i: n-0=n mfG mpmxyz
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mpmxyz

Betreff: Im Namen von n-halbleiter...

Di, Sep 15, 2009 20:38
Antworten mit Zitat

...soll ich sagen, dass er gemerkt hat, dass die Fallunterscheidung wirklich unnötig ist.
Er hatte nicht bedacht, dass es auch eine Fakultät von 0 gibt.

Mir ist außerdem noch eine kürzere Form aufgefallen:

Zitat:

n
f^(k)(x) = Sigma ( a(i) * (i)! / (i-k)! * x^(i-k) )
i=k

"i" ist jetzt das ursprüngliche "n-i"
Minimum von n-i:
n-(n-k)=k
Maximum von n-i:
n-0=n

mfG
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	n-Halbleiter	Di, Sep 15, 2009 21:21 Antworten mit Zitat
Jo, vielen Dank, auch für die Kürzung. Ich empfand sie nur als etwas kryptisch, als ich sie das Erste mal gesehen habe. Dass du so viel Kürzen konntest, liegt wohl daran, dass ich mich einfach stur an die Form gehalten habe, was dann, wie man sieht, in eben so einem riesigen Klotz resultiert hat.
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n-Halbleiter

Di, Sep 15, 2009 21:21
Antworten mit Zitat

Jo, vielen Dank, auch für die Kürzung. Ich empfand sie nur als etwas kryptisch, als ich sie das Erste mal gesehen habe. Wink

Dass du so viel Kürzen konntest, liegt wohl daran, dass ich mich einfach stur an die Form gehalten habe, was dann, wie man sieht, in eben so einem riesigen Klotz resultiert hat. Very Happy

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