Knobelaufgabe (Gleichung)

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	mister_nobody Betreff: Knobelaufgabe (Gleichung)	Di, Okt 30, 2007 17:18 Antworten mit Zitat
Moin, wir ich beschäftige mich auch außerhalb der Schule gerne mit Mathe und mein Lieblingsthema sind bisher Gleichungen (ich mag einfach dieses wunderbare rumgedenke). Jetzt bin ich in einem Buch auf eine Aufgabe gestoßen, die ich einfach nicht gebacken kriege. Bei mir sieht das Ende immer wie folgt aus: 11x -2 = 11x -2 (is klar ne^^ - x möcht ich eigentlich schon ganz gern errechnen =) ) Hier kommt die (text)Aufgabe: Bei einer zweistelligen Zahl unterscheiden sich die Ziffern um 2. Vertauscht man die Ziffern, so entsteht eine um 18 größere Zahl. Wie heißt die Zahl? Auf die Lösung kommt man sehr schnell Aber ich kriegs halt nicht hin eine funktionierende Gleichung aufzustellen. Ich poste mal die Lösung als link, so dass, wenn man draufhält, unten das Ergebnis eingeblendet wird: Lösung ich hoffe, die Aufgabe strengt euch genauso an wie mich, schließlich möchte ich nicht alleine mit meinem Problem dastehen^^[/url]
...biep...biep...biep...biep...biep

mister_nobody

Betreff: Knobelaufgabe (Gleichung)

Di, Okt 30, 2007 17:18
Antworten mit Zitat

Moin, wir ich beschäftige mich auch außerhalb der Schule gerne mit Mathe und mein Lieblingsthema sind bisher Gleichungen (ich mag einfach dieses wunderbare rumgedenke).
Jetzt bin ich in einem Buch auf eine Aufgabe gestoßen, die ich einfach nicht gebacken kriege. Bei mir sieht das Ende immer wie folgt aus:
11x -2 = 11x -2 (is klar ne^^ - x möcht ich eigentlich schon ganz gern errechnen =) )

Hier kommt die (text)Aufgabe:

Bei einer zweistelligen Zahl unterscheiden sich die Ziffern um 2. Vertauscht man die Ziffern, so entsteht eine um 18 größere Zahl. Wie heißt die Zahl?

Auf die Lösung kommt man sehr schnell Wink

Aber ich kriegs halt nicht hin eine funktionierende Gleichung aufzustellen.
Ich poste mal die Lösung als link, so dass, wenn man draufhält, unten das Ergebnis eingeblendet wird:

Lösung

ich hoffe, die Aufgabe strengt euch genauso an wie mich, schließlich möchte ich nicht alleine mit meinem Problem dastehen^^[/url]

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	Noobody	Di, Okt 30, 2007 17:38 Antworten mit Zitat
Gleichungssystem: Abs( x - y ) = 2 10x + y + 18 = 10y + x So in den TI-89 eintippen und man hats EDIT: Funzt ja doch nicht... Mist
Man is the best computer we can put aboard a spacecraft ... and the only one that can be mass produced with unskilled labor. -- Wernher von Braun

Noobody

Di, Okt 30, 2007 17:38
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Gleichungssystem:

Abs( x - y ) = 2
10x + y + 18 = 10y + x

So in den TI-89 eintippen und man hats Wink

EDIT: Funzt ja doch nicht... Mist

Man is the best computer we can put aboard a spacecraft ... and the only one that can be mass produced with unskilled labor. -- Wernher von Braun

	Eingeproggt	Di, Okt 30, 2007 17:47 Antworten mit Zitat
Ich als Kind der Taschenrechner-Generation griff mal zu meinem TI Voyage 200 und ... hatte probleme damit^^ bei 11x-2=11x-2 sagt er schlicht und einfach "true", weil man da JEDE Zahl einsetzen kann. Und bei der Textaufgabe hab ich wohl nen Denkfehler in den Gleichungen... da sagt er nämlich "false" bzw "Argument must be a variable name", was soviel heißt wie: Ich habs falsch eingetippt Naja, fürs Kopfrechnen wär das nix für mich Edit: lol, hatte genau denselben Ansatz wie Noobody
Gewinner des BCC 18, 33 und 65 sowie MiniBCC 9

Eingeproggt

Di, Okt 30, 2007 17:47
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Ich als Kind der Taschenrechner-Generation griff mal zu meinem TI Voyage 200 und ...

hatte probleme damit^^

bei 11*x-2=11*x-2 sagt er schlicht und einfach "true", weil man da JEDE Zahl einsetzen kann.

Und bei der Textaufgabe hab ich wohl nen Denkfehler in den Gleichungen... da sagt er nämlich "false" bzw "Argument must be a variable name", was soviel heißt wie: Ich habs falsch eingetippt Smile

Naja, fürs Kopfrechnen wär das nix für mich Smile

Edit: lol, hatte genau denselben Ansatz wie Noobody

Gewinner des BCC 18, 33 und 65 sowie MiniBCC 9

	mahe	Di, Okt 30, 2007 17:55 Antworten mit Zitat
Meine Gleichungen lösen sich auch in nichts auf ... y - x = 2 10x + y = 10y + x - 18
ʇɹǝıdɯnɹɹoʞ ɹnʇɐuƃıs - ǝpoɥʇǝɯ-ɹoɹɹıɯ ɹǝp uı ,ɹoɹɹǝ,

mahe

Di, Okt 30, 2007 17:55
Antworten mit Zitat

Meine Gleichungen lösen sich auch in nichts auf ... Smile

y - x = 2

10x + y = 10y + x - 18

ʇɹǝıdɯnɹɹoʞ ɹnʇɐuƃıs - ǝpoɥʇǝɯ-ɹoɹɹıɯ ɹǝp uı ,ɹoɹɹǝ,

	Hip Teen	Di, Okt 30, 2007 18:03 Antworten mit Zitat
Hehe, gute Aufgabe. Aber es gibt keine eindeutige Lösung, denn bei jeder Ziffernkombination, die sich um 2 unterscheidet, ist dann die Differenz 18. Aber dafür habe ich jetzt fast das ganze Blatt verschwendet, um drauf zu kommen -.-
Spruch der Woche: "Ahh, ein neues Gesicht?!" - "Nein, das hab ich schon länger"

Hip Teen

Di, Okt 30, 2007 18:03
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Hehe, gute Aufgabe. Aber es gibt keine eindeutige Lösung, denn bei jeder Ziffernkombination, die sich um 2 unterscheidet, ist dann die Differenz 18. Aber dafür habe ich jetzt fast das ganze Blatt verschwendet, um drauf zu kommen -.-

Spruch der Woche: "Ahh, ein neues Gesicht?!" - "Nein, das hab ich schon länger"

	Shark	Di, Okt 30, 2007 18:38 Antworten mit Zitat
Joar, wie ich die Aufgabe verstanden hab... ist es überhaupt net schwer... die Lösung müsste 13 sein! Versuch später noch ne Gleichung auf zustellen Schön Tag noch.

Shark

Di, Okt 30, 2007 18:38
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Joar, wie ich die Aufgabe verstanden hab... ist es überhaupt net schwer... die Lösung müsste 13 sein!

Versuch später noch ne Gleichung auf zustellen Very Happy

Schön Tag noch.

	Noobody	Di, Okt 30, 2007 18:40 Antworten mit Zitat
Es gibt genau 7 Lösungen: Code: [AUSKLAPPEN] [EINKLAPPEN] 13 24 35 46 57 68 79 Probierts aus, sollte gehen.
Man is the best computer we can put aboard a spacecraft ... and the only one that can be mass produced with unskilled labor. -- Wernher von Braun

Noobody

Di, Okt 30, 2007 18:40
Antworten mit Zitat

Es gibt genau 7 Lösungen:
Code: [AUSKLAPPEN]

13
24
35
46
57
68
79

Probierts aus, sollte gehen.

Man is the best computer we can put aboard a spacecraft ... and the only one that can be mass produced with unskilled labor. -- Wernher von Braun

	Triton	Di, Okt 30, 2007 19:59 Antworten mit Zitat
hm, habs zweimal versucht und kam nur auf -18 = 18 und 0=0
Coding: silizium-net.de \| Portfolio: Triton.ch.vu

Triton

Di, Okt 30, 2007 19:59
Antworten mit Zitat

hm, habs zweimal versucht und kam nur auf -18 = 18 und 0=0 Smile

Coding: silizium-net.de | Portfolio: Triton.ch.vu

	Nikonoob	Di, Okt 30, 2007 20:03 Antworten mit Zitat
Hätte nicht gedacht, dass sowas den Leuten hier solche Probleme macht... x10 + y = y10 + x - 18 10x + y = 10y + x - 18 9x = 9y - 18 x = y - 2 Bedeutet, es funktioniert mit allen zweistelligen Zahlen, wo die Zehnerziffer (x) um 2 kleiner ist als die Einserziffer.

Nikonoob

Di, Okt 30, 2007 20:03
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Hätte nicht gedacht, dass sowas den Leuten hier solche Probleme macht...

x*10 + y = y*10 + x - 18

10x + y = 10y + x - 18

9x = 9y - 18

x = y - 2

Bedeutet, es funktioniert mit allen zweistelligen Zahlen, wo die Zehnerziffer (x) um 2 kleiner ist als die Einserziffer.

	SpionAtom	Di, Okt 30, 2007 20:42 Antworten mit Zitat
Auf das Ergebnis von Nikinoob komm ich auch. Aber wer findet den größeren Zusammenhang raus. Wenn man den Ziffernunterschied von 2 auf 3 hochsetzt, ändert sich die 18 in eine 27. Aber sonst funktioniert das gleiche Spiel. Wenn man den Ziffernunterschied von 3 auf 4 hochsetzt, kommt mit Sicherheit 36 raus. Also immer Ziffernunterschied * 9. Tja, unser Dezimalsystem. Edit: Habs gerade "schmierig" zusammengerechnet, ist wirklich nichts besonderes dran. Edit: Oder schaut es euch "pseudogeometrisch" an: Code: [AUSKLAPPEN] [EINKLAPPEN] ;Zahlenfeld: z = 0 For j = 0 To 9 For i = 0 To 9 z = z + 1 Text 50 + i * 50, 50 + j * 50, z Next Next Wenn ihr da das Spiegelbild sucht, müsst Ihr, jenachdem ob die erste Ziffer größer oder kleiner ist, nach unten links oder nach oben rechts im Zahlenbild wandern. Spiegelachse sind also die Schnapszahlen.
os: Windows 10 Home cpu: Intel Core i7 6700K 4.00Ghz gpu: NVIDIA GeForce GTX 1080

SpionAtom

Di, Okt 30, 2007 20:42
Antworten mit Zitat

Auf das Ergebnis von Nikinoob komm ich auch. Aber wer findet den größeren Zusammenhang raus. Wenn man den Ziffernunterschied von 2 auf 3 hochsetzt, ändert sich die 18 in eine 27. Aber sonst funktioniert das gleiche Spiel.
Wenn man den Ziffernunterschied von 3 auf 4 hochsetzt, kommt mit Sicherheit 36 raus.
Also immer Ziffernunterschied * 9. Tja, unser Dezimalsystem.

Edit: Habs gerade "schmierig" zusammengerechnet, ist wirklich nichts besonderes dran.

Edit: Oder schaut es euch "pseudogeometrisch" an:
Code: [AUSKLAPPEN]

;Zahlenfeld:
z = 0
For j = 0 To 9
For i = 0 To 9
z = z + 1
Text 50 + i * 50, 50 + j * 50, z
Next
Next

Wenn ihr da das Spiegelbild sucht, müsst Ihr, jenachdem ob die erste Ziffer größer oder kleiner ist, nach unten links oder nach oben rechts im Zahlenbild wandern. Spiegelachse sind also die Schnapszahlen.

os: Windows 10 Home cpu: Intel Core i7 6700K 4.00Ghz gpu: NVIDIA GeForce GTX 1080

	E. Urbach ehemals "Basicprogger"	Mi, Okt 31, 2007 12:19 Antworten mit Zitat
Zitat: Aber wer findet den größeren Zusammenhang raus. Es gibt zwar einen Zusammenhang, aber die Differenz lässt sich in normalen Programmiersprachen nicht direkt mit einer Formel ausrechnen, man muss die Formel durch eine Schleife schicken. Für 2 Stellen (ggf. mit der Basis 10) sieht die Sache noch einfach aus: Code: [AUSKLAPPEN] [EINKLAPPEN] x e N b e N* y e N d e N x * b + y = y * b + x - d Gesucht: d Code: [AUSKLAPPEN] [EINKLAPPEN] x * (b - 1) = y * (b - 1) - d x * (b - 1) - y * (b - 1) = -d y * (b - 1) - x * (b - 1) = d (b - 1) * (y - x) = d Was das heißt? Dass man die Zifferndifferenz mit der Basis des (Dezimal-) Systems minus 1 multiplizieren muss, um die Differenz beim Austauschen der Ziffern zu bekommen. Code: [AUSKLAPPEN] [EINKLAPPEN] (10 - 1) * (2) = d d = 18 Im Binärsystem: Code: [AUSKLAPPEN] [EINKLAPPEN] d = (2 - 1) * (1) d = 1 Ist auch logisch: Wenn die Zahlendifferenz im Binärsystem 1 ist (was ja auch die höchste mögliche Differenz darstellt), dann ist das Austauschen der Ziffern gleichwertig mit der Addition bzw. Subtraktion von 1. Beispiel: Code: [AUSKLAPPEN] [EINKLAPPEN] 01 -> 10 \| +1 bzw. 10 -> 01 \| -1 So, und jetzt nochmal mit beliebig langen Zahlen, nicht nur mit 2 Stellen Code: [AUSKLAPPEN] [EINKLAPPEN] 531 - 135 = 396 642 - 246 = 396 753 - 357 = 396 ... Erste Vermutung bestätigt, nun zur Formel: Code: [AUSKLAPPEN] [EINKLAPPEN] x e N s e N b e N* d e N n e N \| n > 0 z e N \| z = x[s-1] - x[s] Summe(s = 0 \| s <= n \| s + 1 -> s){x[s] * b^s} = Summe(s = 0 \| s <= n \| s + 1 -> s){x[n-s] * b^s} - d Kurzform: S{x[s] * b^s} = S{x[n-s] * b^s} - d d = S{x[n-s] * b^s} - S{x[s] * b^s} d = S{[(z(n-s)+1) - (zs+1)] * b^(n-s)} Als Funktion in C++: Code: [AUSKLAPPEN] [EINKLAPPEN] int DiffSwitch(const unsigned int b, unsigned int n, const unsigned int z) { --n; int result = 0; for(unsigned int i = 0; i <= n; ++i) { result += ((z(n-i)+1) - (zi+1)) * static_cast<int>(pow(static_cast<float>(b), static_cast<int>(n-i))); } return result; } Als Funktion in BB: Code: [AUSKLAPPEN] [EINKLAPPEN] Function DiffSwitch(b, n, z) n = n - 1 Local result = 0 For i = 0 To n result = result + ((z(n-i)+1) - (zi+1)) * b^(n-i) Next Return result End Function Gesucht: d Gegeben: b, n, z Hier einige Beispielwerte: Code: [AUSKLAPPEN] [EINKLAPPEN] f(10, 2, 2) = 18 f(10, 2, 3) = 27 f(10, 2, 4) = 36 f(10, 3, 3) = 594 f(10, 3, 2) = 396 //Basis 10, 3 Stellen, Zifferndifferenz 2 Auf Deutsch: Bei einer Zahl mit der Basis 10 mit 3 Stellen, deren Ziffern sich durch 2 Einheiten unterscheiden ist die Differenz beim Vertauschen 396.
The box said, "Requires Windows XP or better", so I installed Ubuntu \| Linux is NOT Windows Flua :: Profiler für BB und BMax :: Partikel-Engine für BMax :: Lyphia-Projekt Quellcode (BMax) :: Automatische Parallelisierung :: Meine Musik

E. Urbach

ehemals "Basicprogger"

Mi, Okt 31, 2007 12:19
Antworten mit Zitat

Zitat:

Aber wer findet den größeren Zusammenhang raus.

Es gibt zwar einen Zusammenhang, aber die Differenz lässt sich in normalen Programmiersprachen nicht direkt mit einer Formel ausrechnen, man muss die Formel durch eine Schleife schicken. Für 2 Stellen (ggf. mit der Basis 10) sieht die Sache noch einfach aus:

Code: [AUSKLAPPEN]

x e N
b e N*
y e N
d e N
x * b + y = y * b + x - d

Gesucht: d

Code: [AUSKLAPPEN]

x * (b - 1) = y * (b - 1) - d
x * (b - 1) - y * (b - 1) = -d
y * (b - 1) - x * (b - 1) = d
(b - 1) * (y - x) = d

Was das heißt? Dass man die Zifferndifferenz mit der Basis des (Dezimal-) Systems minus 1 multiplizieren muss, um die Differenz beim Austauschen der Ziffern zu bekommen.

Code: [AUSKLAPPEN]

(10 - 1) * (2) = d
d = 18

Im Binärsystem:

Code: [AUSKLAPPEN]

d = (2 - 1) * (1)
d = 1

Ist auch logisch: Wenn die Zahlendifferenz im Binärsystem 1 ist (was ja auch die höchste mögliche Differenz darstellt), dann ist das Austauschen der Ziffern gleichwertig mit der Addition bzw. Subtraktion von 1. Beispiel:

Code: [AUSKLAPPEN]

01 -> 10 | +1
bzw.
10 -> 01 | -1

So, und jetzt nochmal mit beliebig langen Zahlen, nicht nur mit 2 Stellen Smile

Code: [AUSKLAPPEN]

531 - 135 = 396
642 - 246 = 396
753 - 357 = 396
...

Erste Vermutung bestätigt, nun zur Formel:

Code: [AUSKLAPPEN]

x e N
s e N
b e N*
d e N
n e N | n > 0
z e N | z = x[s-1] - x[s]
Summe(s = 0 | s <= n | s + 1 -> s){x[s] * b^s} = Summe(s = 0 | s <= n | s + 1 -> s){x[n-s] * b^s} - d
Kurzform:
S{x[s] * b^s} = S{x[n-s] * b^s} - d
d = S{x[n-s] * b^s} - S{x[s] * b^s}
d = S{[(z*(n-s)+1) - (z*s+1)] * b^(n-s)}

Als Funktion in C++:

Code: [AUSKLAPPEN]

int DiffSwitch(const unsigned int b, unsigned int n, const unsigned int z)
{
--n;
int result = 0;
for(unsigned int i = 0; i <= n; ++i)
{
result += ((z*(n-i)+1) - (z*i+1)) * static_cast<int>(pow(static_cast<float>(b), static_cast<int>(n-i)));
}
return result;
}

Als Funktion in BB:

Code: [AUSKLAPPEN]

Function DiffSwitch(b, n, z)
n = n - 1
Local result = 0
For i = 0 To n
result = result + ((z*(n-i)+1) - (z*i+1)) * b^(n-i)
Next
Return result
End Function

Gesucht: d
Gegeben: b, n, z

Hier einige Beispielwerte:

Code: [AUSKLAPPEN]

f(10, 2, 2) = 18
f(10, 2, 3) = 27
f(10, 2, 4) = 36
f(10, 3, 3) = 594
f(10, 3, 2) = 396 //Basis 10, 3 Stellen, Zifferndifferenz 2

Auf Deutsch: Bei einer Zahl mit der Basis 10 mit 3 Stellen, deren Ziffern sich durch 2 Einheiten unterscheiden ist die Differenz beim Vertauschen 396.

The box said, "Requires Windows XP or better", so I installed Ubuntu | Linux is NOT Windows
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