Volumenberechnung bei Integralen - Lösung ist seltsam

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	M0rgenstern Betreff: Volumenberechnung bei Integralen - Lösung ist seltsam	Do, Mai 05, 2011 14:36 Antworten mit Zitat
Hallo Leute, wir haben hier ein Problem und bräuchten Hilfe von jemandem der mathematisch ein wenig bewandert ist. Die Aufgabenstellung zu der Aufgabe sieht folgendermaßen aus: "Ein zylinderförmiges Glas mit einem Durchmesser von 6cm enthält Wasser. Dieses Glas wird so in Rotation versetzt, dass kein Wasser überläuft und das Wasser an der tiefsten Stelle der Wasseroberfläche 2cm hoch steht. Der Verlauf der Wasserlinie wird dabei (in einem Längsschnitt durch die Rotationsachse) durch p(x) = 1/2x²+2 beschrieben (Längeneinheit: 1cm auf beiden Achsen). Fertigen Sie eine passende Skizze an und berechnen Sie die im Glas enthaltene Wassermenge." Der Graph ist auf dieser Seite gezeichnet: [url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F2x^2%2B2]hier[/url] Unsere Herangehensweise war folgende: Wir haben das Volumen des Drehkörpers ausgerechnet mit: 2Pi* Integral 0-3 (1/2x²+2)² dx Dabei kamen wir auf 1725,5 cm³ Wolframalpha kommt auf 264,836 Laut Lösungsheft ist die richtige Lösung: 120,2 cm³ Der Lösungsweg ist dort auch ganz anders und wir können uns nicht erklären, warum der angegebene Lösungsweg genommen werden kann: V=2Pi* Integral 0-3 (x(1/2x²+2))dx = 2Pi Integral 0-3 (1/2x³+2x)dx Wieso wird da einfach xp(x) im Integral gerechnet, wie kommen die darauf? Normalerweise gilt für das Rotationsvolumen eines graphen doch Pi*Integral (f(x))²dx wäre super, wenn jemand dafür ne Erklärung hätte, denn wir verzweifeln hier grade einen Tag vorm Matheabitur. Lg, M0rgenstern

M0rgenstern

Betreff: Volumenberechnung bei Integralen - Lösung ist seltsam

Do, Mai 05, 2011 14:36
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Hallo Leute,
wir haben hier ein Problem und bräuchten Hilfe von jemandem der mathematisch ein wenig bewandert ist.
Die Aufgabenstellung zu der Aufgabe sieht folgendermaßen aus:
"Ein zylinderförmiges Glas mit einem Durchmesser von 6cm enthält Wasser. Dieses Glas wird so in Rotation versetzt, dass kein Wasser überläuft und das Wasser an der tiefsten Stelle der Wasseroberfläche 2cm hoch steht.
Der Verlauf der Wasserlinie wird dabei (in einem Längsschnitt durch die Rotationsachse) durch p(x) = 1/2x²+2 beschrieben (Längeneinheit: 1cm auf beiden Achsen).
Fertigen Sie eine passende Skizze an und berechnen Sie die im Glas enthaltene Wassermenge."

Der Graph ist auf dieser Seite gezeichnet: [url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F2*x^2%2B2]hier[/url]

Unsere Herangehensweise war folgende:
Wir haben das Volumen des Drehkörpers ausgerechnet mit:
2*Pi* Integral 0-3 (1/2*x²+2)² dx
Dabei kamen wir auf 1725,5 cm³
Wolframalpha kommt auf 264,836

Laut Lösungsheft ist die richtige Lösung: 120,2 cm³
Der Lösungsweg ist dort auch ganz anders und wir können uns nicht erklären, warum der angegebene Lösungsweg genommen werden kann:
V=2*Pi* Integral 0-3 (x*(1/2*x²+2))dx = 2*Pi* Integral 0-3 (1/2*x³+2x)dx
Wieso wird da einfach x*p(x) im Integral gerechnet, wie kommen die darauf?
Normalerweise gilt für das Rotationsvolumen eines graphen doch Pi*Integral (f(x))²dx

wäre super, wenn jemand dafür ne Erklärung hätte, denn wir verzweifeln hier grade einen Tag vorm Matheabitur.

Lg, M0rgenstern

	ChristianK	Do, Mai 05, 2011 15:01 Antworten mit Zitat
PiIntegral (f(x))²dx* ist die Formel für einen Rotationskörper um die x-Achse. In der Musterlösung wird die Formel für die Rotation um die y-Achse verwendet: http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationskörper#Rotation_um_y-Achse
AdvanceLcd Intel Core 2 Duo 3.2 GHz, 4 GB RAM, GeForce 8800 GTX \| MacBook Pro 15,4″ Intel Core 2 Duo 2.4 GHz, 2 GB RAM, GeForce 8600M GT

ChristianK

Do, Mai 05, 2011 15:01
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Pi*Integral (f(x))²dx ist die Formel für einen Rotationskörper um die x-Achse.
In der Musterlösung wird die Formel für die Rotation um die y-Achse verwendet: http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationskörper#Rotation_um_y-Achse

AdvanceLcd
Intel Core 2 Duo 3.2 GHz, 4 GB RAM, GeForce 8800 GTX | MacBook Pro 15,4″ Intel Core 2 Duo 2.4 GHz, 2 GB RAM, GeForce 8600M GT

	M0rgenstern	Do, Mai 05, 2011 15:09 Antworten mit Zitat
Hey, vielen Dank. Das ist gerade eine Riesenerleichterung für uns. Jetzt wissen wir auch, warum wir die Lösung nicht verstanden haben: Das steht für uns nicht mehr auf dem Lehrplan also haben wirs nie gemacht. Dankeschön. Lg, M0rgenstern

M0rgenstern

Do, Mai 05, 2011 15:09
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Hey, vielen Dank.
Das ist gerade eine Riesenerleichterung für uns. Jetzt wissen wir auch, warum wir die Lösung nicht verstanden haben: Das steht für uns nicht mehr auf dem Lehrplan also haben wirs nie gemacht.

Dankeschön.

Lg, M0rgenstern

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